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魅力无穷的
不需要语言的几何证明

── 李学数 ──


纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,‘数’和‘形’是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。
——恩格斯
数形本是相倚依,焉能分作两边飞?数缺形时少直观,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。几何代数统一体,永远联系莫分离。
——华罗庚

  平面几何研究的是平面上的点、线、三角形、正方形、圆等几何对象,它是历史最悠久的数学分支之一,几何对后世的数学发展影响最大。在古希腊几何不是单纯的作为实用的工具,而是作为锻炼思考、启迪智慧的学问而存在。人们通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形,建立与发展空间观念,掌握必要的几何知识,培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

  欧几里得在他的不朽名作《几何原本》中提出了23个定义,五条公设和五条公理(欧几里得把公设看作是只在几何中正确的公理,如第一公设“由任一点至任一点可作一直线”,而公理则放之四海而皆准,如第二公理“等量加等量,和相等”,现代数学中不作这样的区分,都称为公理),然后试图只用这些定义、公设和公理来推导出整个几何学的定理。

  证明是指在一个特定的公理系统中,根据一定的规则或标准,由公理和定理推导出某些命题的过程。人们证明过程中,每步推理的依据就是学过的公理、定理、定义。

  华罗庚曾有诗:

  “数形本是相倚依,焉能分作两边飞?
  数缺形时少直观,形缺数时难入微。
  数形结合百般好,隔离分家万事休。
  几何代数统一体,永远联系莫分离。”

  运用数形结合,将某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,这样就有助于学习数学。这里将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现。列举其中十分简洁和精彩的几种代数、几何、三角的证明,可以了解到真正的美丽数学证明不需要太多的言语。

  平面几何的公理:

1。两点确定一条直线
2。两点之间线段最短
3。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4。过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5。平行公理(Parallel Axiom):如果一条线段与两条线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。

这个公设衍生出第一个定理“三内角和等于一百八十度”。

【定理1】三角形内角和为180°

〖证明1〗由此得到一个平角,由此得到三角形的内角和是180°

〖证明2〗过点 B 作射线 A*C*∥AC。
则 ∠A*BA=∠A(两直线平行,内错角相等)
  ∠C*BC=∠C(两直线平行,同位角相等)
∵ ∠A*BA+∠ABC+∠C*BC=180°(1平角=180°)
∴ ∠A+∠ABC+∠C=180°(等量代换)

〖证明3〗圆周角是对同弧的圆心角的—半。

【定理2】三角形面积等于底乘以高除以2。

【定理3】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

  勾股定理的证明方法是最多,据说已超过500种。E·S·卢米斯(Loomis) 在他的《毕达哥拉斯定理》(The Pythagorean Proposition) 一书的第二版中,收集了这个著名定理的370种证法,并且进行了分类。该书1940年发表于 Edward Brothers 私人出版的 Ann. Arbor. Mich. 后又由 The National Council of Mathematics, Washington, D.C. 重印。
  中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。2002年国际数学家大会在北京召开,大会的会标是公元三世纪初三国时期数学家赵爽画的“弦图”,体现了数学研究中的继承和发展。赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法。赵爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,实在让人拍案叫绝。

〖证明1〗由“弦图”知,边长为 c 的正方形面积等于边长为 a+b 的正方形面积减去4个两直角边为 a,b 的三角形面积,即 c2=(a+b)2-4·(1/2)ab=a2+b2


〖证明2〗



由“弦图”知,边长为 c 的正方形面积等于边长为 b-a 的正方形面积加上4个两直角边为 a,b 的三角形面积,即 c2=(b-a)2+4·(1/2)ab=a2+b2

赵爽的“弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一,特别是“弦图”一图蕴涵两种证法更是举世无双。“弦图”是证明勾股定理的无字证明,充分体现了我国古代的数学文明和数学文化,本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美,而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观,使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵。

〖证明3〗

〖证明4〗

〖证明5〗据说是意大利画家达·芬奇(da Vinci, 1452-1519) 发现的,用的是相减全等的证明法

〖证明6〗

〖证明7〗△ABC~△ACD~△CBD

〖证明8〗△ABC~△ACD~△CBD

〖证明9〗将 △ABC 各乘以 a,b,c, 然后再把这三个直角三角形合成一个矩形

【定理3】五角星形的顶角和是180°

【定理4】顶奌是(0,0),(2,1),(3,2),(1,1)的平行四边形的面积是1

【定理5】维维亚尼(Viviani) 定理:在等边三角形内任意一点 P 跟三边的垂直距离之和,等于三角形的高。
这个定理可一般化为:等角多边形内任意一点 P 跟各边的垂直距离之和,是不变的,跟该点的位置无关。

【定理6】三角形的面积是等于内切圆的半径乘以半周
 A=1/2·r·(a+b+c)=rs

【定理7】两个数的算术平均数恒大于其几何平均数。
 

【定理8】

【定理9】(托勒密定理)圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。


一个有趣的特殊情况是当 ABCD 是矩形我们得到的另一个毕达哥拉斯定理的证明。

【定理10】—个圆的两个垂直弦的四个线段平方和等于直径平方。

【定理11】


【定理12】1+3+5+…+(2n-1)=n2
〖证明1〗

〖证明2〗

【定理13】

〖证明1〗

〖证明2〗


〖证明3〗

【定理14】12+22+32+ ... +n2=1/3[n(n+1)(n+1/2)].

发现这个证明是香港大学的萧文强教授。

【定理15】
我国古代学者庄子(庄周,约公元前369-前286)是一个著名的思想家,在《庄子·天下篇》中有一句话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”讲的是这个定理。

【定理16】(-1)n-11+(-1)n-23+(-1)n-35+(-1)n-47+…+(-1)0(2n-1)=n。

发现这个证明是美国的数学家亚瑟·本杰明(Arthur T. Benjamin, 1961-),他专长在组合数学。自1989年以来,他一直是加州哈维·玛德学院(Harvey Mudd College) 的数学教授,而且是有名的数学魔术师。

【定理17】半角定理
(1)sin(x/2) cos(x/2)=(1/2)sin x

(2)tanθ/2=(1-cosθ)/sinθ

【定理18】余弦定理
〖证明1〗

〖证明2〗

【定理19】正弦余弦角和差定理

  数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。读者可以参看罗杰·纳尔逊(Roger Nelson) 的 "Proof without Words" 三本精彩的好书,提升解题能力。

动脑筋想想看

1. 你可以看懂底下的证明吗?

2.
 利用下图可以容易轻松获解

3. 求 |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4| + … + |x-2017| 的最小值。

【参考文献】
1. Arthur T. Benjamin, Proof Without Words: Alternating Sums of Odd Numbers, Mathematics Magazine, vol. 78, no. 5 (December 2005), by The Mathematical Association of America.
2. W. Derrick, J. Herstein, Proof Without Words: Ptolemy's Theorem, The College Mathematics Journal, v 43, n 5, November 2012, p 386.
3. Ken-ichiroh Kawasaki. “Proof without Words: Viviani’s Theorem”. Mathematics Magazine , Vol. 78, No. 3 (Jun., 2005), p. 213.
4. Nelsen, R.?B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC:.
5. Avi SiglerRuti SegalMoshe Stupel, The standard proof, the elegant proof, and the proof without words of tasks in geometry, and their dynamic investigation, Journal, Volume 47, (2016) Issue 8, p.1226-1243.



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2017年4月15日首版 Created on April 15, 2017
2017年4月15日改版 Last updated on April 15, 2017